AZ ÖTVENÉVES WRIGHT-SEJTÉS TÖRTÉNETE
Szerző: RÖST Gergely, PhD hallgató
Témavezető: Dr. KRISZTIN Tibor egyetemi tanár
Intézmény: Szegedi Tudományegyetem, Természettudományi Kar, Bolyai Intézet,
Alkalmazott és Numerikus Matematika Tanszék

Az y'(t) = - ay(t -1)[1+y(t)] úgynevezett késleltetett logisztikus differenciálegyenletet először Hutchinson használta ökológiai modellként a negyvenes években. Azóta az egyenlet számtalan változatát alkalmazták a populációdinamika területén. Ugyanez az egyenlet néhány év múlva feltűnt Lord Cherwell munkáiban, meghökkentő módon a prímszámok eloszlásával kapcsolatos vizsgálatok során. Wright 1955-ben bizonyította híres stabilitási tételét, amely szerint ha a < 3/2, akkor minden megoldás a 0 egyensúlyi helyzethez konvergál. Ismert, hogy a=Pi/2 -nél Hopf-bifurkáció történik és megjelenik egy periodikus megoldás. A kérdés az, mi történik a két érték között. Wright azt sejtette, hogy ebben az intervallumban is igaz a 0 megoldás globális attraktivitása. Wright módszereivel hosszas számolás után az eredmény kiterjeszthető a < 37/24 -ig, a Pi/2-ig azonban senkinek sem sikerült eljutnia. Gopalsamy 1986-ban közölt egy bizonyítást a sejtésre a Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. centenáriumi ünnepi számában, később azonban kiderült, hogy a bizonyítás hibás, így a sejtés továbbra is nyitott maradt. Újkeletű eredményeink alapján úgy tűnik, sikerülhet megoldani ezt az ötvenéves nevezetes problémát.

Kulcsszavak: logisztikus modell, késleltetett visszacsatolás, funkcionál-differenciálegyenlet, globális stabilitás

THE STORY OF THE FIFTY-YEAR-OLD WRIGHT'S CONJECTURE
Author: Gergely RÖST, PhD student
Supervisor: Tibor KRISZTIN, university professor
Institute: University of Szeged, Faculty of Science, Bolyai Institute,
Department of Applied Mathematics

The delayed logistic differential equation y'(t) = - ay(t -1)[1+y(t)]was first studied by Hutchinson as an ecological model in the fourties. Since then different versions of this equation were applied to describe population dynamics. Some years later the same equation appeared in the works of Lord Cherwell, mysteriously related to the distribution of primes. Wright proved his celebrated stability theorem in 1955, namely that if a < 3/2, then every solution tends to the equilibrium 0. It is well-known that a=Pi/2 is a Hopf-bifurcation point and a periodic solution appears. What can we expect between these two values? Wright conjectured that in this whole interval the solution 0 is globally attractive. By the methods of Wright, the result can be extended at the cost of considerable elaboration to a < 37/24, but no one could reach Pi/2. Gopalsamy published a proof to the conjecture in the centennial volume of Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. in 1986, but later it turned out that the proof is not correct, so the conjecture remained open. Due to our recent results, it seems to be that there is a chance to solve this fifty-year-old notable conjecture.

Keywords: logistic model, delayed feedback, functional differential equations, global stability